震耳欲聋的沉默：汪策尔与古典数学问题的不可能性证明

发布时间：2025-04-05 07:50:50 来源：资讯360网 作者：无痕

皮埃尔·汪策尔给出了前三个古典问题的不可能性证明，但他的工作在很大程度上都被人忽略了，而且这个情况延续了将近一个世纪。古典问题可能是数学史上最著名的问题。我们可能会想，这些问题的解答（哪怕是否定的解答）都是值得注意，并且有新闻价值的。尤其是，汪策尔发表文章的期刊是当时的顶级期刊。但就算这样，他的工作也几乎立刻就被遗忘了。在证明被提出 15 年后，知名数学家们仍然没有意识到这一结果。1852 年 12 月 18 日，威廉·罗恩·哈密顿爵士（1805—1865）给德·摩根写了一封信：你确定不可能用尺规三等分角吗？我没有去悔恨在这问题上花费掉的任何时间，只是觉得，是一种直觉或是感觉，而不是一份证明，让我们认为这件事无法做到。毫无疑问，我们被三次代数方程影响了。但要是放在一个世纪以前，高斯的正十七边形碑文看起来不也一样无法用直线和圆完成吗？德·摩根在平安夜回了信：至于三等分角，高斯的发现让我更加不相信它的可能性。当x¹⁷ - 1 被分解为二次因式时，我们看到了使用圆形的作图如何产生效果。但是，在知道 ax³ + bx² + cx + d 无法分解为实系数二次因式和一个线性因式的情况下，我无法想象一组圆相交如何能产生刚好三个不同的点。丹麦数学家尤利乌斯·彼得森（1839—1910）在 1877 年的一本代数教材中证明了汪策尔定理，但他没有提到汪策尔。这让事情变得更加复杂。但是，他知道汪策尔的工作，因为他在自己的博士论文中提及了它。1897 年，菲利克斯·克莱因（1849—1925）写了一本书，其名为《初等几何中的著名问题：倍立方、三等分角、化圆为方》。他在引言中写道：（倍立方和三等分任意角的不可能性证明）暗含在伽罗瓦理论中，正如今天的高等代数论文中所呈现的那样。另外，除了彼得森的教材，我们没有见过其他明确的初等形式证明。克莱因没有提到汪策尔。此外，他还错误地把作任意正多边形的不可能性证明归功于高斯，这让事态更加混乱：在他的《算术研究》中，高斯扩展了这一系列数（2^h、3 和 5）。他证明这种分割对所有形如的质数都是可能的，而对于所有其他质数以及它们的幂都是不可能的。1914 年，雷蒙德·阿奇博尔德（1875—1955）评论了两本关于此话题的书。在对霍布森的《“化圆为方”：一段历史》（该书叙述了汪策尔定理，但没有提到汪策尔的名字）的评论中，他写道：“谁第一个证明了经典的三等分角问题的不可能性？我在任何数学史文献中都没有读到过关于这一点的描述，但该证明肯定早于1852 年威廉·罗恩·哈密顿爵士写给德·摩根的那封信。”在他对克莱因的书的评论中，阿奇博尔德写道：现在，上面提到的暗示（也就是高斯证明了逆命题）已经不再正确。皮尔庞特教授在他（1895 年）的论文《论〈算术研究〉中一个未经证明的定理》中有意思地陈述了这一点。詹姆斯·皮尔庞特（1822—1893）确实否定了关于高斯的这一错误信息，但他也没提及汪策尔的功劳。相反，他给出了自己的证明。他写道：然而，知道只有这些多边形能通过几何方式作出要重要得多，因为这样我们关于尺规作正多边形的理论才算完整……（我们的证明）对于填充《算术研究》的读者们感受到的缺陷非常有用。19 世纪末期和 20 世纪初期的许多数学图书（甚至是那些专门讲述数学史的图书）都讨论了古典问题，却没有提到它们最终的解答。即便提到解答，这些书也经常只是提及化圆为方问题的解答。他们经常把多边形的证明错误地归功于高斯。至于三等分角和倍立方问题的不可能性证明——它们要么不知道这两者已被证明，要么不知道谁给出了第一份证明，要么就搞错了证明人。许多作者简单地引用了一些给出证明的教材，但没有明确说明这是不是第一份证明。终于，在 1913 年，弗洛里安·卡乔里弄清了真相：汪策尔对于其他三个著名定理的证明已经被人完全遗忘了。这三个定理就是不可能三等分任意角、不可能倍立方，以及不可能避免不可约三次方程代数解中的“不可约情形”。汪策尔看起来是第一个提出严格证明的人……就我们现在所知，汪策尔最先发表了详细、明确并且完整的证明……这无可争议。不过，这为时已晚了。那时，错误的信息已经被广泛传播。好心的作者们很可能错过卡乔里的文字，而从许多错误来源获取信息。然后，他们又会把错误信息传递下去。比如，在 1937 年，也就是汪策尔提出证明 100 年后，E. T. 贝尔发表了一本受欢迎的书——《数学大师》。该书讲述了历史上最伟大的几位数学家的故事。它引人入胜，又鼓舞人心。不过，该书因为只关注男性数学家，以及对数学历史过分戏剧性并且偶尔不正确的描述广受批评。在书中，贝尔写道：这位年轻人证明了，当且仅当边数为费马质数或者是不同的费马质数的乘积时，尺规可以作有奇数条边的正多边形……他的名字就是高斯。毫无疑问，这样一本有影响力的书中的论述，会给认为高斯证明了这些定理的观点赋予新的活力。在 20 世纪中——即便是到了 1990 年——数学家和数学史学家不断地忽略汪策尔及其成果。1986 年，理查德·弗朗西斯写下了下面关于多边形定理的文字，但它们也适用于汪策尔的所有定理：在如今这个可以快速交流、有着世界范围数学社区、存在大量研究期刊的时代，关于一个流行问题的现状还存在这样的混乱，这实在让人很难理解。但是，谣言在经过了多年的承认以及热心的夸大之后却很难被消灭。简而言之，在将近一个半世纪之中，都存在几个普遍的困惑：谁证明了什么，什么时候证明的，或者到底有没有人证明过。有些数学家不知道是否存在证明，有些人认为这一结果在很多年前就已经被证明，有些人把所有结果都归功于高斯，有些人把多边形相关的结果归功于高斯。但几乎没有人给过汪策尔他应得的赞扬。我们可以想象穿越时空回到过去，然后询问数学家们关于这些不可能性定理的问题。他们可能会有如下反应。我们不是早就知道了吗？这些作图的不可能性已经被自信地断言了两千年。自从古希腊时代以来，人们就广泛相信这些问题不可解。当帕普斯把几何问题分类为平面、立体以及线性问题时，他认为立体和线性问题无法只用尺规解决。这一看法深植于每一位数学家的信条中。不是笛卡儿证明的吗？笛卡儿的确努力尝试了。他扩展了帕普斯的分类系统，针对什么可能、什么不可能给出了听起来极为复杂的论述。但他的数学让人混乱，复杂难懂。结果到头来，他的数学还远不够严密。不是高斯证明的吗？高斯确实发现了正多边形可作图性的充分和必要条件。但他没有同时证明两个方向。高斯曾大胆断言一些他知道但是没有发表的观点，而我们之后在他的笔记中发现了更多细节。这已经成为不争的事实。不过可作图性定理看上去不属于这种情况——我们没有找到任何证据，可以表明高斯曾写下了多边形定理逆命题的证明。高斯根本没有研究三等分角或者倍立方问题。不过，如果高斯真的证明了多边形定理的逆命题，那就暗示了不可能作正九边形。因为正九边形不可作图，40° 角也不可作图，但 120° 角是可作图的，所以高斯本可以很接近证明三等分角的不可能性。但是他没有这样做。这难道不是高斯的工作的简单推广吗？难道不仅仅是正式写出来就好了吗？耶斯帕·吕岑写过一篇名为《为什么汪策尔被忽略了一个世纪？一个不可能性结果的不停变化的重要性》的优秀文章。他认为上述说法并不正确。汪策尔“对尺规作图的代数描述确实直接来自高斯，而他关于不可约性的讨论也基于阿贝尔的思想。但是，这些崭新的代数方法在汪策尔的时代可能并非容易理解到读者会认为他的证明过于简单的程度”。尽管笛卡儿和其他后来者能够把三等分角和倍立方问题翻译成代数方程，在汪策尔之前，还没有人能把几何问题完整地翻译成代数问题。汪策尔毫无疑问站在了巨人的肩上——正如牛顿那句人尽皆知的自评。但那些巨人是否本可以抵达（至少没有证据表明他们确实抵达了）汪策尔的高度，就不得而知了。谁在乎呢？吕岑认为，汪策尔可能超越了自己的时代。汪策尔在不可能性结果的黄金时代之前就证明了他的定理。当时，许多数学家还在使用“构造范式”——他们工作的重点在于解决问题。此外，吕岑写道：“使用代数来证明一个几何定理对于大多数早期现代数学家来说，当然看起来是种非常不自然，也很落后的想法。但这一想法确实出现了。这一事实因此必须被视为一项巨大进步，而不只是理所当然的事。”类似汪策尔定理的、元数学式的不可能性定理在当时并不流行。正如吕岑指出的，高斯不想在书中多花几页来证明不可能作特定正多边形。相对地，他只是简单地警告了读者不要浪费时间尝试。吕岑认为，汪策尔式的数学在 19 世纪后半叶会很流行；但放在 20 世纪三四十年代，它就是“年轻人的游戏”。皮埃尔什么？不幸的是，因为汪策尔的职业规划，以及他的英年早逝，他在数学界不甚知名。他从来不是数学机构的一员。比如，他没被选入法国科学院。汪策尔在证明他的定理时还是个忙碌的工程学学生，后来他全身心投入巴黎综合理工学院的工作。他可能没有和同时代的其他数学家一样“循规蹈矩”——和其他学者见面并通信，分享自己的出版物，谈论自己的工作等。我们不知道为什么汪策尔和他的工作被忽视了那么久。可能只是祸不单行，所有这些原因都汇聚在一起，让他的工作从公众视野中消失。但帕普斯、笛卡儿、高斯或者他之前的任何人都没有证明这些定理——正如汪策尔自己所知，他写道：“这些在古人之间极其著名的问题，无法用古人们所珍视的几何作图法解决。在我们看来，这一点直到现在才得到了严格证明。”上文转自图灵新知，节选自《不可能的几何挑战》，【遇见数学】已获转发许可。作者：[美] 大卫•S. 里奇森（David S. Richeson）译者：姜喆数学历史新角度，发掘了之前数学书未曾留意的历史细节是历史，更是故事；插图丰富，叙述简洁丰富的数学知识、证明思路、趣闻轶事交错呈现

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